17-year-old prodigy rewrites history by shattering 40-year-old math theory

Hannah Cairo's research, published in February on the online science archive arXiv, proves the Mizohata–Takeuchi conjecture, a cornerstone idea in harmonic analysis proposed in the early 1980s, is false. The conjecture, named after mathematicians Shigeru Mizohata and Kazuaki Takeuchi, claimed that the energy of certain mathematical functions, built from waves lying on a curved surface, could only spread or concentrate in specific patterns.

• Nghiên cứu của Hannah Cairo, được công bố vào tháng Hai trên kho lưu trữ khoa học trực tuyến arXiv, chứng minh rằng giả thuyết Mizohata–Takeuchi, một ý tưởng nền tảng trong phân tích hài hòa được đề xuất vào đầu những năm 1980, là sai. Giả thuyết này, được đặt tên theo các nhà toán học Shigeru Mizohata và Kazuaki Takeuchi, cho rằng năng lượng của một số hàm toán học nhất định, được xây dựng từ các sóng nằm trên một bề mặt cong, chỉ có thể lan rộng hoặc tập trung theo các mô hình cụ thể.

For decades, no one could prove the conjecture. While some suspected flaws, only a few special cases had ever been confirmed.

• Trong nhiều thập kỷ, không ai có thể chứng minh giả thuyết này. Mặc dù một số người nghi ngờ có những lỗi, chỉ một vài trường hợp đặc biệt mới được xác nhận.

Cairo broke the deadlock by constructing a general counterexample: a function whose energy spread in an irregular, fractal-like pattern that defied the predicted rules. The finding also undermines the related Stein conjecture, another major pillar of harmonic analysis.

• Cairo đã phá vỡ tình trạng bế tắc bằng cách xây dựng một phản ví dụ tổng quát: một hàm có năng lượng lan tỏa theo một mô hình không đều, giống như fractal mà không tuân theo các quy tắc dự đoán. Phát hiện này cũng làm suy yếu giả thuyết Stein liên quan, một trụ cột lớn khác của phân tích hài hòa.

"We were all shocked, absolutely. I don't remember ever seeing anything like that," said Itamar Oliveira, a mathematics PhD at the University of Birmingham, Quanta Magazine reported.

• "Tất cả chúng tôi đều bị sốc, hoàn toàn sốc. Tôi không nhớ đã từng thấy điều gì như vậy," Itamar Oliveira, một tiến sĩ toán học tại Đại học Birmingham, nói với Quanta Magazine.

"This has been my favorite problem for nigh on 40 years, and I was completely blown away," said Tony Carbery, a mathematician at the University of Edinburgh who has studied the problem for decades, as quoted by Quanta.

• "Đây là vấn đề yêu thích của tôi trong gần 40 năm, và tôi hoàn toàn bị thổi bay," Tony Carbery, một nhà toán học tại Đại học Edinburgh, người đã nghiên cứu vấn đề này trong nhiều thập kỷ, được Quanta trích dẫn.

Raised in the Bahamas and homeschooled alongside her two brothers, Cairo began learning math through Khan Academy in elementary school and was studying calculus by age 11. Recognizing her potential, her family hired U.S. university tutors to teach her online.

• Lớn lên ở Bahamas và được học tại nhà cùng hai anh trai, Cairo bắt đầu học toán qua Khan Academy từ tiểu học và đã học giải tích từ năm 11 tuổi. Nhận thấy tiềm năng của cô, gia đình cô đã thuê gia sư từ các trường đại học Hoa Kỳ để dạy cô trực tuyến.

In 2021, while visiting her grandmother in Chicago, Cairo joined Math Circles of Chicago, a nonprofit offering math activities for students. A year later, she took part in UC Berkeley's Berkeley Math Circle summer program online, enrolling in advanced university-level courses at just 14.

• Năm 2021, khi đến thăm bà của mình ở Chicago, Cairo tham gia Math Circles of Chicago, một tổ chức phi lợi nhuận cung cấp các hoạt động toán học cho học sinh. Một năm sau, cô tham gia chương trình mùa hè Berkeley Math Circle của UC Berkeley trực tuyến, đăng ký vào các khóa học cấp đại học nâng cao khi mới 14 tuổi.

"Hannah is above and beyond the ordinary," Zvezdelina Stankova, founder of Berkeley Math Circle, told Quanta. "Every time she applies for a school or program, she is several levels ahead."

• "Hannah vượt xa sự bình thường," Zvezdelina Stankova, người sáng lập Berkeley Math Circle, nói với Quanta. "Mỗi lần cô ấy đăng ký vào một trường hoặc chương trình nào đó, cô ấy luôn đi trước vài cấp độ."

In 2023, Cairo enrolled at the University of California, Davis, while also taking classes at UC Berkeley, including Fourier restriction theory under Associate Professor Ruixiang Zhang, a Princeton-trained mathematician and former International Mathematical Olympiad gold medalist.

• Năm 2023, Cairo đăng ký vào Đại học California, Davis, đồng thời tham gia các lớp học tại UC Berkeley, bao gồm lý thuyết hạn chế Fourier dưới sự hướng dẫn của Phó Giáo sư Ruixiang Zhang, một nhà toán học được đào tạo tại Princeton và cựu huy chương vàng Olympic Toán học Quốc tế.

She first encountered the Mizohata–Takeuchi conjecture when Zhang assigned her a simplified version as homework. The deeper she dug, the more convinced she became that the original was wrong. Eventually, she found a special function showing that instead of canceling each other out, waves on a curved surface created chaotic energy patterns, a direct violation of the conjecture.

• Cô lần đầu tiên gặp phải giả thuyết Mizohata–Takeuchi khi Zhang giao cho cô một phiên bản đơn giản hóa làm bài tập về nhà. Càng đào sâu, cô càng tin rằng giả thuyết gốc là sai. Cuối cùng, cô tìm ra một hàm đặc biệt cho thấy thay vì triệt tiêu lẫn nhau, các sóng trên một bề mặt cong tạo ra các mô hình năng lượng hỗn loạn, vi phạm trực tiếp giả thuyết.

"It took me a while to convince Ruixiang Zhang that my proposal was actually correct," she said, the Scientific American reported.

• "Tôi đã mất một thời gian để thuyết phục Ruixiang Zhang rằng đề xuất của tôi thực sự đúng," cô nói, theo báo cáo của Scientific American.

With Zhang's guidance, Cairo published her findings on arXiv and has been invited to present them at the International Conference on Harmonic Analysis and Partial Differential Equations in Spain.

• Với sự hướng dẫn của Zhang, Cairo đã công bố phát hiện của mình trên arXiv và đã được mời trình bày tại Hội nghị Quốc tế về Phân tích Hài hòa và Phương trình Vi phân Từng phần ở Tây Ban Nha.

She has already been accepted into PhD programs at the University of Maryland and Johns Hopkins University, and will begin her doctoral studies at Maryland this fall.

• Cô đã được chấp nhận vào các chương trình tiến sĩ tại Đại học Maryland và Đại học Johns Hopkins, và sẽ bắt đầu học tiến sĩ tại Maryland vào mùa thu này.